Введение натуральных и целых чисел

Обычно вводят сначала натуральные числа, а через них целые, но кто мешает
сделать наоборот? Это также более естественно с точки зрения теории чисел.

Сначала вводится бесконечная в обе стороны последовательность в стиле аксиом
Пеано:
1. за каждым числом следует ровно одно
2. каждое число следует за ровно одним

Следует заметить, что тут понятие последовательности вводится без введения
начала отсчета, поскольку без границы оно перестает быть изначально
необходимым. Отсутствие смешения понятий означает, что такой подход в
каком-то смысле более "правильный"/фундаментальный.

Далее вводится операция s(a,b,c) (фактически a+b-c) с аксиоматикой:
1. s(a,b,c)=s(b,a,c)
2. s(a,b,b)=a
3. s(следующий(a),b,c)=следующий(s(a,b,c))

Если один из аргументов назвать нулем, то получаются обычные сложение и
вычитание, а дальше все стандартно.

У такого подхода есть только один временный (?) недостаток: нет общепринятых
моделей типа "мощность конечных множеств" или "количество применений функции в
формулах вида f(f...f(x)...)"(хотя второе с оговорками обобщается).