Как немножко обобщить топологию

Топология изучает свойства, которые сохраняются при "хороших" деформациях. Базовая операция - соединение двух точек линией. Возможность соединить любые точки множества - это связность, а возможность передвинуть эти линии друг в друга - это односвязность.

Но в погоне за абстрактностью топологи совсем отдалились от геометрии и кое-что упустили: "хорошие" деформации сохраняют размерность.

Предлагаю ввести такую операцию: соединение двух точек линией, у которой везде есть бесконечно малые окрестности размерности не меньше n. Можно назвать это n-мерной связность. Аналогично определяются n-мерные связность/односвязность/двусвязность/многосвязность.

Теперь топологическое множество разбивается на области постоянной размерности. Внутри этих областей действует традиционная топология. Связь этих областей друг с другом описывается теорией, которая похожа на теорию графов.

Пример: если два шара соединить отрезком, это фигура будет одномерно связной, но не будет трёхмерно связной.

P.S. Не удивлюсь, если это можно как-то связать с бранами.